#57. [CSP-S2019 D] Emiya 家今天的饭

[CSP-S2019 D] Emiya 家今天的饭

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生,他共掌握 nn烹饪方法,且会使用 mm主要食材做菜。为了方便叙述,我们对烹饪方法从 1n1 \sim n 编号,对主要食材从 1m1 \sim m 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地,Emiya 会做 ai,ja_{i,j} 道不同的使用烹饪方法 ii 和主要食材 jj 的菜 (1in,1jm)(1\le i\le n, 1\le j\le m),这也意味着 Emiya 总共会做 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m a_{i,j}$ 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友,然而三个人对菜的搭配有不同的要求,更具体地,对于一种包含 kk 道菜的搭配方案而言:

  • Emiya 不会让大家饿肚子,所以将做至少一道菜,即 k1k \ge 1

  • Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜,因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同

  • Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜,因此他要求每种主要食材至多在一半的菜(即 k2\lfloor \frac k2 \rfloor 道菜)中被使用(这里的 x\lfloor x\rfloor 为下取整函数,表示不超过 xx 的最大整数)。

这些要求难不倒 Emiya,但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同,当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现,而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你,请你帮他计算,你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 998244353998244353 取模的结果。

输入格式

从文件 meal.in 中读入数据。

11 行两个用单个空格隔开的整数 n,mn, m
22 行至第 n+1n + 1 行,每行 mm 个用单个空格隔开的整数,其中第 i+1i + 1 行的 mm 个数依次为 ai,1,ai,2,,ai,ma_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i,m}

输出格式

输出到文件 meal.out 中。

仅一行一个整数,表示所求方案数对 998244353998244353 取模的结果。

2 3
1 0 1
0 1 1
3

样例说明 1

由于在这个样例中,对于每组 i,ji, j,Emiya 都最多只会做一道菜,因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括:

  • 做一道用烹饪方法 11、主要食材 11 的菜和一道用烹饪方法 22、主要食材 22 的菜
  • 做一道用烹饪方法 11、主要食材 11 的菜和一道用烹饪方法 22、主要食材 33 的菜
  • 做一道用烹饪方法 11、主要食材 33 的菜和一道用烹饪方法 22、主要食材 22 的菜

因此输出结果为 3mod998244353=33 \bmod 998244353 = 3。 需要注意的是,所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的,因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现,这不满足 Yazid 的要求。

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0
190

样例说明 2

Emiya 必须至少做 22 道菜。
22 道菜的符合要求的方案数为 100100
33 道菜的符合要求的方案数为 9090
因此符合要求的方案数为 100+90=190100 + 90 = 190

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
742

样例 4

详见附加文件 meal4.inmeal4.ans

样例 5

详见附加文件 meal5.inmeal4.ans

数据范围与提示

测试点编号 n=n= m=m= ai,j<a_{i,j}<
11 22 22 22
22 33
33 55 22
44 33
55 1010 22
66 33
77 1010 22 10310^3
88 33
9129\sim 12 4040 22
131613\sim 16 33
172117\sim 21 500500
222522\sim 25 100100 2×1032\times 10^3 998244353998244353

对于所有测试点,保证 1n1001 \le n \le 1001m2×1031 \le m \le 2\times 10^30ai,j<9982443530 \le a_{i,j} < 998244353