#65. 括号树

括号树

题目背景

本题中合法括号串的定义如下:

  1. () 是合法括号串;
  2. 如果 A 是合法括号串,则 (A) 是合法括号串。
  3. 如果 AB 是合法括号串,则 AB 是合法括号串。

本题中子串不同的子串的定义如下:

  1. 字符串 SS 的子串是 SS连续的任意个字符组成的字符串。SS 的子串可用起始位置 ll 与终止位置 rr 来表示,记为 S(l,r)S (l, r)1lrS1 \le l \le r \le |S|S|S| 表示 SS 的长度)。
  2. SS 的两个子串视作不同当且仅当它们在 SS 中的位置不同,即 ll 不同或 rr 不同。

题目描述

一个大小为 nn 的树包含 nn 个结点和 n1n - 1 条边,每条边连接两个结点,且任意两个结点间有且仅有一条简单路径互相可达。

小 Q 是一个充满好奇心的小朋友,有一天他在上学的路上碰见了一个大小为 nn 的树,树上结点从 1n1 \sim n 编号,11 号结点为树的根。除 11 号结点外,每个结点有一个父亲结点,uu2un2 \le u \le n)号结点的父亲为 fuf_u1fu<u1 \le f_u < u)号结点。

小 Q 发现这个树的每个结点上恰有一个括号,可能是 ()。小 Q 定义 sis_i 为:将根结点到 ii 号结点的简单路径上的括号,按结点经过顺序依次排列组成的字符串。

显然 sis_i 是个括号串,但不一定是合法括号串,因此现在小 Q 想对所有的 ii1in1 \le i \le n)求出,sis_i 中有多少个互不相同的子串合法括号串

这个问题难倒了小 Q,他只好向你求助。设 sis_i 共有 kik_i 个不同子串是合法括号串,你只需要告诉小 Q 所有 i×kii \times k_i 的异或和,即:

$$(1\times k_1)\ \text{xor}\ (2\times k_2)\ \text{xor}\ (3\times k_3)\ \text{xor}\ \cdots \ \text{xor}\ (n\times k_n) $$

其中 xor\text{xor} 是位异或运算。

输入格式

从文件 brackets.in 中读入数据。

第一行一个整数 nn,表示树的大小。
第二行一个长为 nn 的由 () 组成的括号串,第 ii 个括号表示 ii 号结点上的括号。
第三行包含 n1n−1 个整数,第 ii1i<n1 \le i < n)个整数表示 i+1i + 1 号结点的父亲编号 fi+1f_{i+1}

输出格式

输出到文件 brackets.out 中。

仅一行一个整数表示答案。

5
(()()
1 1 2 2
6

样例说明 1

树的形态如下图:

bracket1.png

将根到 11 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 (,子串是合法括号串的个数为 00
将根到 22 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 ((,子串是合法括号串的个数为 00
将根到 33 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 (),子串是合法括号串的个数为 11
将根到 44 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 (((,子串是合法括号串的个数为 00
将根到 55 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 ((),子串是合法括号串的个数为 11

样例 2

详见附加文件 brackets2.inbrackets2.ans

样例 3

详见附加文件 brackets3.inbrackets3.ans

数据范围与提示

测试点编号 nn\le 特殊性质
121\sim 2 88 fi=i1f_i=i-1
343\sim 4 200200
575\sim 7 2×1032\times 10^3
8108\sim 10
111411\sim 14 10510^5 fi=i1f_i=i-1
151615\sim 16
172017\sim 20 5×1055\times 10^5